Exercices corrigés : derivée d'une fonction

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Résumé de cours : derivée d'une fonction

1. Définition

Soit \( f \) une fonction définie sur un intervalle \( I \). On dit que \( f \) est dérivable en \( a \) appartenant à \( I \) si la limite suivante existe :

Si \( f \) est dérivable en tout point de \( I \), alors on peut définir la fonction dérivée \( f' \) sur \( I \).

2. Interprétation géométrique : la tangente

La dérivée d'une fonction en un point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.

Plus précisément, si \( f \) est dérivable en \( a \), alors la tangente à la courbe de \( f \) en \( (a, f(a)) \) a pour équation :

3. Valeur de la tangente

La valeur de la tangente en un point est simplement le coefficient directeur de cette tangente, c'est-à-dire la dérivée de la fonction en ce point.

4. Détermination graphique de la dérivée

Graphiquement, pour déterminer la valeur de la dérivée en un point :

1. Tracez la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
2. Déterminez le coefficient directeur de cette tangente.
3. Ce coefficient est la valeur de la dérivée en ce point.

5. Tracé de la courbe à l'aide des tangentes

Connaissant les valeurs de la dérivée en plusieurs points, on peut tracer les tangentes correspondantes. Ces tangentes donnent une idée de la "direction" de la courbe en ces points, permettant ainsi de dessiner une esquisse de la courbe.

6. Exercices

Exercice 1 : Soit \( f(x) = x^2 \). Trouvez la dérivée de \( f \) et tracez la tangente à la courbe de \( f \) au point \( x = 1 \).

Correction : La dérivée de \( f \) est \( f'(x) = 2x \). Ainsi, la tangente à la courbe de \( f \) en \( x = 1 \) a pour équation \( y = 2(x-1) + 1 = 2x \).

7. Conclusion

La dérivée d'une fonction est un outil puissant pour étudier le comportement de cette fonction. Elle donne des informations sur la variation de la fonction et permet de tracer des tangentes à sa courbe, offrant ainsi une représentation graphique de la vitesse de variation de la fonction.