Exercices corrigés : Résolution d'équations du 2nd degré

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Résumé de cours : Résolution d'équations du 2nd degré

1. Introduction

Une équation du second degré est une équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des constants et \( a \neq 0 \).

2. Le discriminant

Le discriminant, noté \( \Delta \), est donné par la formule : \( \Delta = b^2 - 4ac \).

3. Résolution selon la valeur du discriminant

- Si \( \Delta > 0 \) : L'équation a deux solutions distinctes : \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \) et \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \).
- Si \( \Delta = 0 \) : L'équation a une solution unique : \( x_0 = \frac{-b}{2a} \).
- Si \( \Delta < 0 \) : L'équation n'a pas de solution dans \( \mathbb{R} \).

4. Exemples corrigés

1. Exemple 1 :

   Résoudre \( x^2 - 3x + 2 = 0 \).

   Correction :

   1. Calcul du discriminant :

   \[ \Delta = b^2 - 4ac \]

   \[ \Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) \]

   \[ \Delta = 9 - 8 \]

   \[ \Delta = 1 \]

   2. Comme \( \Delta > 0 \), l'équation a deux solutions distinctes :

   \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \]

   \[ x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]

   \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

   \[ x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \]

   Les solutions de l'équation sont \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = 2 \).

2. Exemple 2 :

   Résoudre \( x^2 + 2x + 1 = 0 \).

   Correction :

   1. Calcul du discriminant :

   \[ \Delta = b^2 - 4ac \]

   \[ \Delta = 2^2 - 4(1)(1) \]

   \[ \Delta = 4 - 4 \]

   \[ \Delta = 0 \]

   2. Comme \( \Delta = 0 \), l'équation a une solution unique :

   \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \]

   \[ x_0 = \frac{-2}{2} = -1 \]

   La solution de l'équation est \( x_0 = -1 \).

3. Exemple 3 :

   Résoudre \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).

   Correction :

   1. Calcul du discriminant :

   \[ \Delta = b^2 - 4ac \]

   \[ \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) \]

   \[ \Delta = 25 - 24 \]

   \[ \Delta = 1 \]

   2. Comme \( \Delta > 0 \), l'équation a deux solutions distinctes :

   \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \]

   \[ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]

   \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

   \[ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]

   Les solutions de l'équation sont \( x_1 = 2 \) et \( x_2 = 3 \).

5. Conseils et erreurs à éviter

• Toujours calculer le discriminant en premier.
• Ne pas confondre les formules de résolution selon la valeur du discriminant.
• Attention à l'ordre des opérations lors du calcul.

6. FAQ

1. Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

   C'est une équation de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \) où \( a \), \( b \) et \( c \) sont des constants et \( a \neq 0 \).

2. Comment savoir combien de solutions a une équation du second degré ?

   Il faut calculer le discriminant \( \Delta \). Si \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions. Si \( \Delta = 0 \), une solution. Si \( \Delta < 0 \), pas de solution dans \( \mathbb{R} \).

7. Conclusion : Comprendre l'Utilité des Équations Quadratiques

Vous vous demandez peut-être pourquoi apprendre à résoudre les équations du type ax² + bx + c = 0 est si important en mathématiques. Ces équations, aussi appelées équations quadratiques, sont bien plus qu'une simple partie de votre programme.

L'Importance de Maîtriser les Équations du Second Degré

Comprendre et savoir résoudre les équations du second degré est une compétence fondamentale en mathématiques, qui ouvre la porte à une compréhension plus profonde des polynômes du second degré. Sur la page actuelle, vous avez appris à trouver les solutions de ces équations, qui sont essentiellement les racines du polynôme correspondant, \(ax^2 + bx + c\).

Les racines d'un polynôme de degré 2 sont les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(f(x) = ax^2 + bx + c = 0\). La capacité à identifier ces racines, comme vous pouvez approfondir sur notre page "Exercices sur les racines d'un polynôme du second degré", est cruciale non seulement pour résoudre des équations, mais aussi pour analyser la structure du polynôme lui-même.

Une fois que vous avez déterminé les racines, vous pouvez également étudier le signe du polynôme sur différents intervalles. Cela implique d'examiner comment la valeur de \(f(x)\) change avant, entre, et après les racines. Cette analyse est fondamentale pour tracer le graphique du polynôme et comprendre son comportement, ce qui est indispensable dans des domaines tels que la physique, l'économie ou l'ingénierie. Pour apprendre à déterminer ces signes, visitez notre page dédiée "Exercices sur le signe d'un polynôme du second degré".

En maîtrisant ces compétences, vous pourrez non seulement résoudre des problèmes mathématiques complexes mais aussi appliquer vos connaissances à des situations réelles, prévoyant et analysant divers phénomènes. Les équations du second degré et les polynômes associés sont des outils puissants dans votre arsenal mathématique, essentiels pour votre réussite scolaire et professionnelle future.

Nous vous encourageons à explorer ces concepts et à les maîtriser. Ils sont un atout précieux pour votre formation et votre avenir professionnel. Bon apprentissage !