Exercices corrigés : Propriétés puissances de 10

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Résumé de cours : Propriétés puissances de 10

Introduction

Les puissances de 10 jouent un rôle fondamental en mathématiques, en sciences et dans notre système de numération. Elles permettent de représenter simplement des nombres très grands ou très petits et offrent une manière concise d'exprimer des ordres de grandeur.

Notation et Définition

Une puissance de 10 est représentée par le nombre 10 élevé à un certain exposant. Si \(n\) est l'exposant, alors \(10^n\) signifie que 10 est multiplié par lui-même \(n\) fois.

Propriétés Fondamentales des Puissances de 10

Les puissances de 10 possèdent des propriétés uniques qui les rendent particulièrement utiles en mathématiques :

• **Multiplication** : \(10^m \times 10^n = 10^{m+n}\). Lorsque l'on multiplie deux puissances de 10, on additionne simplement les exposants.
• **Division** : \(10^m \div 10^n = 10^{m-n}\). Lors de la division, on soustrait l'exposant du dénominateur de celui du numérateur.
• **Élévation à une puissance** : \((10^m)^n = 10^{m \times n}\). Lorsqu'une puissance de 10 est élevée à une autre puissance, on multiplie les exposants.
• **Exposant zéro** : \(10^0 = 1\). Tout nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1.
• **Exposant négatif** : \(10^{-n} = \frac{1}{10^n}\). Un exposant négatif indique l'inverse du nombre élevé à cet exposant en valeur absolue.

Applications et Exemples

Les puissances de 10 sont couramment utilisées pour exprimer des distances dans l'univers, des tailles de particules à l'échelle atomique, ou encore des ordres de grandeur en sciences et en économie.

1. **Distance Terre-Lune** : Environ \(3,84 \times 10^5\) km.

2. **Taille d'un atome** : Environ \(1 \times 10^{-10}\) mètres.

3. **Économie** : Le PIB mondial est d'environ \(8 \times 10^{13}\) dollars.

Exercices sur les Puissances de 10

Exercice 1

Exprimer \(1000\) sous forme d'une puissance de 10.

Corrigé

\(1000 = 10^3\).

Exercice 2

Calculer \(10^4 \times 10^2\).

Corrigé

\(10^4 \times 10^2 = 10^{4+2} = 10^6\).

Exercice 3

Calculer \(10^7 \div 10^4\).

Corrigé

\(10^7 \div 10^4 = 10^{7-4} = 10^3 = 1000\).

Exercice 4

Exprimer \(0,01\) sous forme d'une puissance de 10.

Corrigé

\(0,01 = 10^{-2}\).

Exercice 5

Calculer \(10^5 \times 10^{-5}\).

Corrigé

\(10^5 \times 10^{-5} = 10^{5-5} = 10^0 = 1\).

Exercice 6

Si une bactérie se multiplie par 10 toutes les heures, combien y aura-t-il de bactéries après 6 heures, en partant d'une seule bactérie ?

Corrigé

Après 6 heures, il y aura \(10^6\) bactéries, soit 1,000,000 de bactéries.

Exercice 7

Exprimer \(0,000001\) sous forme d'une puissance de 10.

Corrigé

\(0,000001 = 10^{-6}\).

Conseils et Erreurs à éviter

• Ne confondez pas la multiplication et l'élévation à une puissance. \(10 \times 10\) est différent de \(10^2\).
• Faites attention aux exposants négatifs. Ils indiquent l'inverse du nombre.
• Pratiquez régulièrement pour renforcer votre compréhension et votre maîtrise des propriétés des puissances de 10.

FAQ

Quelle est la différence entre \(10^2\) et \(2^{10}\) ?

\(10^2\) est 10 multiplié par lui-même, soit 100. \(2^{10}\) est 2 multiplié par lui-même 10 fois, soit 1024.

Comment simplifier des expressions avec des puissances de 10 ?

Utilisez les propriétés des puissances pour combiner, multiplier, diviser ou élever des puissances de 10.

Conclusion

Les puissances de 10 sont essentielles pour comprendre et travailler avec des ordres de grandeur en mathématiques et en sciences. En comprenant leurs propriétés et en pratiquant régulièrement, vous pouvez maîtriser cette compétence essentielle.