Exercices corrigés : Fonctions affines

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Résumé de cours : Fonctions affines

Dans ce résumé de cours, nous allons étudier les fonctions affines, qui sont des fonctions simples et fréquemment utilisées en mathématiques. Les fonctions affines sont définies par une expression de la forme :

f(x) = ax + b

Où "a" et "b" sont des constantes réelles, et "x" est la variable indépendante.

Notions d'image et d'antécédent

Lorsqu'on travaille avec des fonctions, il est important de comprendre les notions d'image et d'antécédent :

• Image : L'image d'un nombre x par une fonction f est le résultat obtenu en remplaçant la variable indépendante par x dans l'expression de la fonction. On note généralement l'image de x par f(x).
• Antécédent : Un antécédent d'un nombre y par une fonction f est un nombre x tel que f(x) = y. En d'autres termes, un antécédent est une valeur de la variable indépendante qui donne comme résultat le nombre y lorsqu'on l'insère dans l'expression de la fonction.

Exemple : images et antécédents

Soit la fonction affine suivante :

f(x) = 2x - 3

Calculons l'image de x = 4 :

f(4) = 2(4) - 3 = 5

Donc, l'image de 4 par la fonction f est 5.

Trouvons maintenant un antécédent du nombre y = 7 :

2x - 3 = 7

2x = 10

x = 5

Donc, un antécédent de 7 par la fonction f est 5.

En résumé, pour une fonction affine f(x) = ax + b :

• On obtient l'image de x en remplaçant x dans l'expression de la fonction par la valeur souhaitée.
• On trouve un antécédent de y en résolvant l'équation f(x) = y pour x.

Caractéristiques des fonctions affines

• Si a ? 0, la fonction affine est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
• Si a = 0, la fonction affine est une droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses.
• Le coefficient a est la pente de la droite. Il indique l'inclinaison de la droite et le sens de variation de la fonction.
• Le coefficient b est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de la fonction lorsque x = 0.

Représentation graphique d'une fonction affine

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dans un repère cartésien. Pour tracer la droite, il suffit de :

1. Trouver deux points distincts de la droite. Une méthode courante consiste à déterminer les points d'intersection de la droite avec les axes du repère (abscisse et ordonnée).
2. Relier ces deux points à l'aide d'une règle pour obtenir la droite.

Exemple

Soit la fonction affine suivante :

f(x) = 2x - 3

Déterminons les points d'intersection de la droite avec les axes du repère :

• Intersection avec l'axe des ordonnées : Pour cela, il suffit de calculer la valeur de la fonction en x = 0.

f(0) = 2(0) - 3 = -3

Le point d'intersection est donc (0, -3).

• Intersection avec l'axe des abscisses: Pour trouver ce point, on cherche la valeur de x pour laquelle f(x) = 0.

0 = 2x - 3

3 = 2x

x = 3/2 = 1.5

Le point d'intersection est donc (1.5, 0).

Enfin, il suffit de tracer la droite passant par les points (0, -3) et (1.5, 0) pour représenter graphiquement la fonction affine f(x) = 2x - 3.