Exercices corrigés : Propriétés des puissances

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Résumé de cours : Propriétés des puissances

Introduction

Les puissances sont un moyen d'exprimer de manière concise des multiplications répétées. Elles sont largement utilisées en mathématiques, en sciences et en ingénierie pour représenter des nombres très grands ou très petits.

Définition

Une puissance est représentée par deux nombres : la base et l'exposant. Si \(a\) est la base et \(n\) est l'exposant, alors \(a^n\) signifie que \(a\) est multiplié par lui-même \(n\) fois.

Propriétés des Puissances

• \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) : Lorsque l'on multiplie deux puissances de même base, on additionne les exposants.
• \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) : Lorsque l'on divise deux puissances de même base, on soustrait les exposants.
• \((a^m)^n = a^{m \times n}\) : Lorsque l'on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.
• \(a^0 = 1\) : Tout nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1.
• \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) : Un exposant négatif indique l'inverse du nombre élevé à cet exposant en valeur absolue.

Exemples

1. \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)

2. \(3^2 \times 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243\)

3. \(5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25\)

4. \(7^0 = 1\)

5. \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)

Exercices Corrigés

Exercice 1

Calculer \(2^5\).

Corrigé

\(2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\).

Exercice 2

Calculer \(3^3 \times 3^2\).

Corrigé

\(3^3 \times 3^2 = 3^{3+2} = 3^5 = 243\).

Exercice 3

Calculer \(10^4 \div 10^2\).

Corrigé

\(10^4 \div 10^2 = 10^{4-2} = 10^2 = 100\).

Exercice 4

Calculer \(5^{-3}\).

Corrigé

\(5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}\).

Exercice 5

Calculer \((2^2)^3\).

Corrigé

\((2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64\).

Exercice 6

Calculer \(4^0\).

Corrigé

\(4^0 = 1\).

Conseils et Erreurs à éviter

• Ne confondez pas la multiplication et l'élévation à une puissance. \(2 \times 2\) est différent de \(2^2\).
• Faites attention aux exposants négatifs. Ils indiquent l'inverse du nombre.
• Pratiquez régulièrement pour renforcer votre compréhension et votre maîtrise des propriétés des puissances.

FAQ

Qu'est-ce qu'un exposant négatif ?

Un exposant négatif indique l'inverse du nombre. Par exemple, \(a^{-n}\) est égal à \(\frac{1}{a^n}\).

Comment puis-je simplifier des expressions avec des puissances ?

Utilisez les propriétés des puissances pour combiner, multiplier, diviser ou élever des puissances.

Conclusion

Les puissances sont un outil puissant en mathématiques qui permet de simplifier et de travailler avec des nombres de manière efficace. En comprenant leurs propriétés et en pratiquant régulièrement, vous pouvez maîtriser cette compétence essentielle.