Exercices corrigés : Equations

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Exercices corrigés : Systèmes d'équations

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Résumé de cours : Résolution des équations du premier degré

Dans ce cours, nous allons aborder la résolution des équations du premier degré à une inconnue. Ces équations sont caractérisées par la présence d'une inconnue, généralement notée "x", élevée à la puissance 1.

Structure d'une équation du premier degré

Une équation du premier degré peut être écrite sous la forme suivante :

ax + b = c

Où "a", "b" et "c" sont des nombres réels, et "x" est l'inconnue que nous cherchons à déterminer.

Étapes pour résoudre une équation du premier degré

1. Isoler le terme avec l'inconnue en soustrayant ou en ajoutant "b" des deux côtés de l'équation.
2. Diviser les deux côtés de l'équation par "a" pour obtenir la valeur de "x".
3. Simplifier pour obtenir la solution.

Exemple de résolution

Soit l'équation suivante :

4x - 6 = 10

Voici les étapes pour résoudre cette équation :

1. Ajouter 6 des deux côtés de l'équation :

4x = 10 + 6

2. Diviser les deux côtés de l'équation par 4 :

x = (10 + 6) / 4

3. Simplifier pour obtenir la solution :

x = 16 / 4

x = 4

Donc, la solution de l'équation 4x - 6 = 10 est x = 4.

Résumé de cours : Résolution des systèmes de 2 équations à 2 inconnues

Dans ce cours, nous allons apprendre comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations linéaires où les deux inconnues, généralement notées "x" et "y", apparaissent dans les deux équations. Le but est de trouver les valeurs de "x" et "y" qui satisfont simultanément les deux équations.

Structure d'un système de 2 équations à 2 inconnues

Un système de deux équations à deux inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

ax + by = c

dx + ey = f

Où "a", "b", "c", "d", "e" et "f" sont des nombres réels.

Méthodes de résolution

Il existe deux principales méthodes pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues : la méthode de substitution et la méthode de l'élimination (aussi appelée méthode d'addition). Nous allons aborder ces deux méthodes dans ce cours.

1. Méthode de substitution

1. Isoler l'une des inconnues (par exemple, "y") dans l'une des équations (par exemple, la première équation).
2. Remplacer cette inconnue isolée dans la seconde équation par l'expression obtenue à l'étape 1.
3. Résoudre l'équation résultante pour obtenir la valeur de l'autre inconnue (ici, "x").
4. Remplacer la valeur trouvée pour "x" dans l'expression isolée pour "y" (à l'étape 1) et résoudre pour "y".

2. Méthode de l'élimination (méthode d'addition)

1. Multiplier, si nécessaire, les deux équations par des nombres appropriés pour que les coefficients de l'une des inconnues soient égaux ou opposés (par exemple, les coefficients de "y").
2. Additionner ou soustraire les deux équations modifiées pour éliminer l'une des inconnues (ici, "y").
3. Résoudre l'équation résultante pour l'autre inconnue (ici, "x").
4. Remplacer la valeur trouvée pour "x" dans l'une des équations initiales et résoudre pour "y".

Exemple de résolution

Soit le système de deux équations à deux inconnues suivant :

2x + 3y = 14

x - y = 2

Voici comment résoudre ce système en utilisant la méthode de substitution :

1. Isoler "y" dans la seconde équation :

y = x - 2

2. Remplacer "y" dans la première équation par l'expression obtenue à l'étape 1 :

2x + 3(x - 2) = 14

3. Résoudre l'équation résultante pour "x" :

2x + 3x - 6 = 14

5x = 20

x = 4

4. Remplacer la valeur trouvée pour "x" dans l'expression isolée pour "y" (à l'étape 1) et résoudre pour "y" :

y = 4 - 2

y = 2

Donc, la solution du système est x = 4 et y = 2.