Exercices corrigés : Puissances de 10

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Résumé de cours : Puissances de 10

Introduction

Les puissances de 10 sont un moyen efficace de représenter des nombres très grands ou très petits. Elles sont fondamentales en mathématiques et en sciences, notamment pour exprimer des ordres de grandeur.

Définition

Une puissance de 10 est représentée par le nombre 10 élevé à un certain exposant. Si \(n\) est l'exposant, alors \(10^n\) signifie que 10 est multiplié par lui-même \(n\) fois.

Propriétés des Puissances de 10

• \(10^m \times 10^n = 10^{m+n}\) : Lorsque l'on multiplie deux puissances de 10, on additionne les exposants.
• \(10^m \div 10^n = 10^{m-n}\) : Lorsque l'on divise deux puissances de 10, on soustrait les exposants.
• \((10^m)^n = 10^{m \times n}\) : Lorsque l'on élève une puissance de 10 à une autre puissance, on multiplie les exposants.
• \(10^0 = 1\) : Tout nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1.
• \(10^{-n} = \frac{1}{10^n}\) : Un exposant négatif indique l'inverse du nombre élevé à cet exposant en valeur absolue.

Exemples

1. \(10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000\)

2. \(10^2 \times 10^3 = 10^{2+3} = 10^5 = 100000\)

3. \(10^4 \div 10^2 = 10^{4-2} = 10^2 = 100\)

4. \(10^0 = 1\)

5. \(10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0,01\)

Exercices Corrigés

Exercice 1

Calculer \(10^6\).

Corrigé

\(10^6 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 1,000,000\).

Exercice 2

Calculer \(10^3 \times 10^4\).

Corrigé

\(10^3 \times 10^4 = 10^{3+4} = 10^7 = 10,000,000\).

Exercice 3

Calculer \(10^8 \div 10^5\).

Corrigé

\(10^8 \div 10^5 = 10^{8-5} = 10^3 = 1,000\).

Exercice 4

Calculer \(10^{-4}\).

Corrigé

\(10^{-4} = \frac{1}{10^4} = 0,0001\).

Exercice 5

Calculer \((10^2)^4\).

Corrigé

\((10^2)^4 = 10^{2 \times 4} = 10^8 = 100,000,000\).

Exercice 6

Calculer \(10^1\).

Corrigé

\(10^1 = 10\).

Conseils et Erreurs à éviter

• Ne confondez pas la multiplication et l'élévation à une puissance. \(10 \times 10\) est différent de \(10^2\).
• Faites attention aux exposants négatifs. Ils indiquent l'inverse du nombre.
• Pratiquez régulièrement pour renforcer votre compréhension et votre maîtrise des propriétés des puissances de 10.

FAQ

Qu'est-ce qu'un exposant négatif dans une puissance de 10 ?

Un exposant négatif indique l'inverse du nombre. Par exemple, \(10^{-n}\) est égal à \(\frac{1}{10^n}\).

Comment puis-je simplifier des expressions avec des puissances de 10 ?

Utilisez les propriétés des puissances pour combiner, multiplier, diviser ou élever des puissances de 10.

Conclusion

Les puissances de 10 sont essentielles pour comprendre et travailler avec des ordres de grandeur en mathématiques et en sciences. En comprenant leurs propriétés et en pratiquant régulièrement, vous pouvez maîtriser cette compétence essentielle.