Exercices corrigés : Cosinus d'un angle aïgu

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Résumé de cours : Cosinus d'un angle aïgu

Historique

La trigonométrie, dont le cosinus est un élément clé, trouve ses origines dans les anciennes civilisations babyloniennes et égyptiennes. Les Grecs, notamment Hipparque et Ptolémée, ont développé davantage ces concepts. Le terme "cosinus" provient du mot latin "complementi sinus", signifiant "le sinus du complément".

Introduction

Le cosinus est une des fonctions trigonométriques fondamentales utilisées pour décrire les relations dans un triangle rectangle. Dans ce cours, nous nous concentrerons sur le cosinus d'un angle aigu, c'est-à-dire un angle inférieur à 90°.

Notions essentielles sur les angles

Un angle est formé par deux demi-droites ayant une origine commune appelée sommet. L'unité de mesure des angles est le degré. Un angle droit mesure 90°, un angle aigu mesure moins de 90° et un angle obtus mesure plus de 90° mais moins de 180°.

Définition du Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est défini comme le rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle à la longueur de l'hypoténuse. Mathématiquement, pour un angle \( \alpha \) :

Propriétés

Le cosinus d'un angle aigu varie entre 0 et 1. Plus l'angle est proche de 0°, plus sa valeur de cosinus est proche de 1. À mesure que l'angle se rapproche de 90°, la valeur du cosinus tend vers 0.

Applications

Le cosinus est largement utilisé en géométrie, en physique et en ingénierie. Il permet, par exemple, de déterminer une longueur inconnue dans un triangle rectangle, de calculer l'angle entre deux vecteurs ou encore de décrire des phénomènes périodiques comme les ondes sonores.

Exercices et Corrigés

Exercice 1 : Dans un triangle rectangle ABC, où \( \angle ABC \) est droit, si AB = 5 cm et AC = 13 cm, trouvez le cosinus de \( \angle BAC \).

Corrigé : \( \cos(BAC) = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13} \)

Exercice 2 : Si le cosinus d'un angle aigu est 0,7, quelle est la valeur approximative de cet angle ?

Corrigé : En utilisant une calculatrice trigonométrique, \( \alpha \approx 45,57° \).

Exercice 3 : Dans un triangle rectangle, si le cosinus d'un angle aigu est \( \frac{3}{5} \), et si l'hypoténuse mesure 10 cm, quelle est la longueur du côté adjacent à cet angle ?

Corrigé : Côté adjacent = \( \cos(\alpha) \times \text{hypoténuse} = \frac{3}{5} \times 10 = 6 \) cm.

Exercice 4 : Si le côté adjacent mesure 8 cm et l'hypoténuse mesure 10 cm, quelle est la valeur du cosinus de l'angle aigu ?

Corrigé : \( \cos(\alpha) = \frac{8}{10} = 0,8 \).

Exercice 5 : Dans un triangle rectangle, si le côté opposé mesure 15 cm et l'hypoténuse mesure 17 cm, quelle est la longueur du côté adjacent ?

Corrigé : En utilisant le théorème de Pythagore, \( \text{côté adjacent} = \sqrt{17^2 - 15^2} = 8 \) cm.

FAQ

Quelle est la différence entre le cosinus et le sinus ?

Le cosinus et le sinus sont tous deux des fonctions trigonométriques définies dans un triangle rectangle. Le cosinus est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse, tandis que le sinus est le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse.

Comment peut-on se souvenir de la définition du cosinus ?

Une mnémotechnie courante est "CAH" pour Cosinus = Adjacent/Hypoténuse.

Le cosinus peut-il avoir une valeur supérieure à 1 ou inférieure à -1 ?

Non, le cosinus d'un angle varie toujours entre -1 et 1, inclusivement.

Conseils et Erreurs à éviter

• Conseil : Utilisez toujours un rapporteur ou une calculatrice trigonométrique pour déterminer la valeur exacte du cosinus d'un angle.
• Erreur courante : Ne pas confondre le côté adjacent avec le côté opposé lors de la détermination du cosinus.
• Conseil : Familiarisez-vous avec les valeurs courantes du cosinus pour des angles comme 0°, 30°, 45°, 60° et 90°.

Conclusion

Le cosinus est une fonction trigonométrique essentielle qui décrit les relations dans un triangle rectangle. En comprenant et en maîtrisant le concept de cosinus, vous serez mieux préparé à résoudre une variété de problèmes mathématiques et physiques.