Exercices corrigés : Extrema de courbe

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Résumé de cours : Extrema de courbe

1. Notions de base

Avant de plonger dans le vif du sujet, il est essentiel de comprendre certaines notions fondamentales :

• Intervalle de définition : C'est l'ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles la fonction \( f \) est définie. Par exemple, pour la fonction \( f(x) = \sqrt{x} \), l'intervalle de définition est \( x \geq 0 \).
• Borne supérieure : C'est la plus petite valeur qui est supérieure ou égale à toutes les valeurs d'un ensemble. Si cette valeur appartient à l'ensemble, elle est appelée le maximum de l'ensemble.
• Borne inférieure : C'est la plus grande valeur qui est inférieure ou égale à toutes les valeurs d'un ensemble. Si cette valeur appartient à l'ensemble, elle est appelée le minimum de l'ensemble.

2. Qu'est-ce qu'un extremum ?

Un extremum est un point où une fonction atteint une valeur maximale ou minimale. Il existe deux types d'extrema :

• Maximum : Un point où la fonction atteint sa valeur la plus élevée. Par exemple, pour la fonction \( f(x) = -x^2 \), le maximum est atteint en \( x = 0 \).
• Minimum : Un point où la fonction atteint sa valeur la plus basse. Pour la fonction \( f(x) = x^2 \), le minimum est atteint en \( x = 0 \).

3. Comment déterminer les extrema graphiquement ?

Sur une courbe représentative d'une fonction :

• Un maximum est un point où la courbe change de direction, passant d'une pente ascendante à une pente descendante.
• Un minimum est un point où la courbe change de direction, passant d'une pente descendante à une pente ascendante.

Exemple : Pour la fonction \( f(x) = x^3 - 3x \), en observant la courbe, on peut identifier les points de maximum et de minimum locaux.

4. Borne supérieure et borne inférieure

La borne supérieure d'un ensemble n'est pas nécessairement un élément de cet ensemble, mais elle est supérieure à tous les éléments de l'ensemble. De même, la borne inférieure est inférieure à tous les éléments de l'ensemble.

5. Comment déterminer les extrema d'une fonction ?

Les extrema d'une fonction peuvent être déterminés en étudiant sa dérivée. Si la dérivée change de signe (de positif à négatif ou vice versa) en un point, alors ce point est un extremum.

6. Conseils et erreurs à éviter

• Ne pas confondre les points d'inflexion avec les extrema.
• Un point où la dérivée est nulle n'est pas nécessairement un extremum.
• Veillez à bien étudier l'intervalle de définition de la fonction.
• Ne pas oublier de vérifier les bornes de l'intervalle de définition, elles peuvent aussi être des extrema.

7. FAQ sur les Extrema d'une Fonction

1. Qu'est-ce qu'un extremum ?

   Un extremum est un point où une fonction atteint une valeur maximale (maximum) ou minimale (minimum).

2. Comment différencier un maximum d'un minimum sur un graphique ?

   Sur un graphique, un maximum est un point où la courbe change de direction, passant d'une pente ascendante à une pente descendante. Inversement, un minimum est un point où la courbe change de direction, passant d'une pente descendante à une pente ascendante.

3. Est-ce que tous les points où la dérivée est nulle sont des extrema ?

   Non, tous les points où la dérivée est nulle ne sont pas nécessairement des extrema. Ils peuvent aussi être des points d'inflexion. Il est essentiel de vérifier le signe de la dérivée de chaque côté du point pour déterminer s'il s'agit d'un extremum.

4. Quelle est la différence entre une borne supérieure et un maximum ?

   La borne supérieure d'un ensemble est la plus petite valeur qui est supérieure ou égale à toutes les valeurs de l'ensemble. Si cette borne appartient à l'ensemble, elle est appelée le maximum de l'ensemble.

5. Comment déterminer les extrema d'une fonction à partir de sa dérivée ?

   Si la dérivée d'une fonction change de signe (de positif à négatif ou vice versa) en un point, alors ce point est un extremum. De plus, si la dérivée est nulle en ce point, il peut s'agir d'un maximum ou d'un minimum.

6. Quels sont les erreurs courantes à éviter lors de la recherche d'extrema ?

   Les erreurs courantes incluent la confusion entre points d'inflexion et extrema, l'oubli de vérifier les bornes de l'intervalle de définition, et la négligence de points où la dérivée est indéfinie.