Exercices corrigés : Courbes et tableau de variation

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Résumé de cours : Courbes et tableau de variation

1. Qu'est-ce qu'un tableau de variation ?

Un tableau de variation est un outil graphique utilisé en mathématiques pour représenter les variations d'une fonction sur un intervalle donné. Il permet d'indiquer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les points où elle atteint un maximum ou un minimum.

2. à quoi sert un tableau de variation ?

Le tableau de variation sert à :

• Visualiser rapidement les variations d'une fonction.
• Identifier les points où la fonction atteint ses valeurs maximales et minimales.
• Comprendre le comportement global d'une fonction sur un intervalle.
• Aider à la résolution de problèmes mathématiques.

3. Comment construire un tableau de variation ?

Pour construire un tableau de variation :

1. Déterminez le domaine d'étude de la fonction.
2. Identifiez les points où la dérivée de la fonction s'annule ou n'existe pas. Ces points sont appelés points critiques.
3. Utilisez la dérivée pour déterminer si la fonction est croissante ou décroissante entre ces points critiques.
4. Placez les points critiques sur le tableau et indiquez les variations de la fonction entre ces points.
5. Indiquez les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle d'étude.

4. Comment lire un tableau de variation ?

Un tableau de variation est généralement divisé en deux lignes :

• La première ligne représente les valeurs de l'abscisse (souvent \( x \)).
• La deuxième ligne représente les valeurs de la fonction (souvent \( f(x) \)).

Les flèches montantes (\( \uparrow \)) indiquent que la fonction est croissante, tandis que les flèches descendantes (\( \downarrow \)) indiquent qu'elle est décroissante. Les valeurs maximales et minimales de la fonction sont également indiquées dans le tableau.

5. Comment tracer une courbe à partir du tableau de variation ?

Le tableau de variation fournit des informations essentielles pour tracer la courbe représentative d'une fonction :

1. Commencez par dessiner un repère cartésien.
2. Placez les points critiques et les points correspondant aux extrémités de l'intervalle d'étude sur l'axe des abscisses.
3. Reportez les valeurs de la fonction pour ces points sur l'axe des ordonnées.
4. Reliez ces points en respectant les variations indiquées dans le tableau. La courbe doit monter là où la fonction est croissante et descendre là où elle est décroissante.
5. N'oubliez pas d'indiquer les points où la fonction atteint un maximum ou un minimum local.

La courbe obtenue est une représentation graphique de la fonction sur l'intervalle d'étude.

6. Erreurs courantes à éviter

• Ne pas confondre les points où la dérivée s'annule avec les points où la fonction s'annule.
• Oublier de tester la variation de la fonction entre deux points critiques.
• Ne pas indiquer les valeurs de la fonction aux points critiques et aux extrémités de l'intervalle d'étude.
• Ne pas respecter les variations de la fonction lors du tracé de la courbe.