Exercices corrigés : Théorème de THALES

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Résumé de cours : Théorème de THALES

Historique

Le théorème de Thalès tire son nom du mathématicien grec Thalès de Milet, qui a vécu autour de 600 av. J.-C. Bien que l'origine exacte du théorème soit incertaine, Thalès est souvent crédité pour avoir introduit cette notion en Grèce après avoir voyagé en Égypte, où il a pu observer des méthodes similaires utilisées par les Égyptiens dans leurs constructions.

Énoncé du Théorème

Si deux droites sont coupées par des droites parallèles, alors les segments de ces droites sont proportionnels.

Mathématiquement, cela peut être exprimé comme : \(\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}\)

où \(AB\) et \(AC\) sont des segments sur une droite, et \(DE\) et \(DF\) sont des segments sur une autre droite, avec les deux droites coupées par des droites parallèles.

Démonstration

La démonstration du théorème de Thalès est souvent réalisée à l'aide de triangles semblables. Lorsque deux droites sont coupées par des droites parallèles, elles forment des triangles semblables dont les côtés sont proportionnels. Cette proportionnalité est la base du théorème de Thalès.

Applications

Le théorème de Thalès a de nombreuses applications, notamment en géométrie, en trigonométrie et dans la vie quotidienne. Il est souvent utilisé pour déterminer des distances inaccessibles, comme la hauteur d'un bâtiment ou d'une montagne, en utilisant la proportionnalité des segments.

Exercices

1. Deux droites sont coupées par des droites parallèles, formant des segments de 4 cm et 6 cm sur une droite, et de 8 cm et x cm sur l'autre. Trouvez la valeur de x.

Correction :
En utilisant le théorème de Thalès, \(\frac{4}{6} = \frac{8}{x}\). En résolvant cette équation, on trouve \(x = 12\) cm.

Exercice 2

Un arbre projette une ombre de 5 mètres lorsqu'une tige de 2 mètres projette une ombre de 1 mètre. Quelle est la hauteur de l'arbre ?

Correction :
En utilisant le théorème de Thalès, \(\frac{\text{hauteur de l'arbre}}{5} = \frac{2}{1}\). En résolvant cette équation, on trouve que la hauteur de l'arbre est de 10 mètres.

FAQ

Le théorème de Thalès s'applique-t-il uniquement aux droites coupées par des droites parallèles ?

Oui, la condition essentielle pour l'application du théorème de Thalès est que les droites soient coupées par des droites parallèles.

Comment différencier le théorème de Thalès du théorème de Pythagore ?

Le théorème de Thalès traite de la proportionnalité des segments lorsque deux droites sont coupées par des droites parallèles, tandis que le théorème de Pythagore concerne la relation entre les côtés d'un triangle rectangle.

Peut-on utiliser le théorème de Thalès pour mesurer des distances inaccessibles ?

Oui, le théorème de Thalès est souvent utilisé dans des situations où il est impossible de mesurer directement une distance, comme la hauteur d'un bâtiment ou d'une montagne. En utilisant la proportionnalité des segments, on peut déduire la distance inconnue.

Conseils et Erreurs à éviter

• Conseil : Assurez-vous toujours que les droites sont effectivement parallèles avant d'appliquer le théorème de Thalès.
• Erreur courante : Confondre le théorème de Thalès avec d'autres théorèmes ou propriétés géométriques. Assurez-vous de bien comprendre les conditions d'application du théorème avant de l'utiliser.
• Conseil : Lors de la résolution de problèmes utilisant le théorème de Thalès, dessinez toujours un schéma pour visualiser la situation. Cela peut vous aider à mieux comprendre le problème et à éviter des erreurs.
• Erreur courante : Ne pas vérifier les proportions après avoir trouvé une solution. Après avoir résolu un problème utilisant le théorème de Thalès, vérifiez toujours que les proportions sont correctes.

Conclusion

Le théorème de Thalès est un outil puissant en géométrie qui permet de comprendre et d'exploiter la proportionnalité des segments. En maîtrisant ce théorème, vous aurez une meilleure compréhension des relations géométriques et serez mieux équipé pour résoudre des problèmes complexes.