CLASSE DE 1^ère

Exercices corrigés : racines de polynôme

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Résumé de cours : racines de polynôme

Le calcul des racines d'un polynôme de degré 2 est une compétence fondamentale en mathématiques. Ces racines, également appelées solutions ou zéros, sont les valeurs de \( x \) pour lesquelles le polynôme s'annule.

Forme générale d'un polynôme de degré 2

Un polynôme de degré 2 est généralement écrit sous la forme :

\[ ax^2 + bx + c \]

où \( a \), \( b \), et \( c \) sont des constants et \( a \neq 0 \).

Le discriminant

Le discriminant, noté \( \Delta \), est un élément clé pour déterminer le nombre et la nature des racines du polynôme. Il est donné par :

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Interprétation du discriminant

• Si \( \Delta > 0 \) : Le polynôme a deux racines réelles distinctes.
• Si \( \Delta = 0 \) : Le polynôme a une racine réelle double.
• Si \( \Delta < 0 \) : Le polynôme n'a pas de racine réelle.

Calcul des racines

Les racines du polynôme, si elles existent, sont données par :

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Exemple :

Soit le polynôme \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \).

Calculons ses racines :

1. Calculer le discriminant \( \Delta \).
2. Utiliser les formules ci-dessus pour trouver les racines \( x_1 \) et \( x_2 \).

Solution : \( \Delta = 9 - 8 = 1 \). Donc, \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = 2 \).

Conseils et erreurs à éviter

Assurez-vous toujours de bien identifier les coefficients \( a \), \( b \), et \( c \) avant de commencer les calculs. Une erreur dans ces valeurs peut fausser tout le calcul des racines.

FAQ

• Qu'est-ce que le discriminant ?

  C'est une valeur calculée à partir des coefficients du polynôme qui permet de déterminer le nombre et la nature des racines.

• Comment trouver les racines d'un polynôme ?

  On utilise le discriminant et les formules pour \( x_1 \) et \( x_2 \) à partir des coefficients du polynôme.

• Que signifie une racine double ?

  Cela signifie que le polynôme s'annule pour une seule valeur de \( x \), mais cette valeur est comptée deux fois.

Utilité du Calcul des Racines d'un Polynôme du Second Degré

Calculer les racines d'un polynôme du second degré est une compétence fondamentale en algèbre qui sert de base à de nombreuses applications pratiques et théoriques en mathématiques et dans d'autres disciplines scientifiques. Les racines d'un polynôme sont essentielles pour comprendre son comportement et permettent plusieurs opérations et analyses importantes.

Premièrement, les racines vous permettent de factoriser le polynôme, ce qui est crucial pour simplifier les expressions algébriques et résoudre les équations plus facilement. Cette factorisation est particulièrement utile en mathématiques avancées et en ingénierie. Pour pratiquer la factorisation des polynômes du second degré, consultez notre page "Exercices sur la factorisation d'un polynôme du second degré".

En outre, connaître les racines du polynôme vous aide à déterminer son signe sur différents intervalles. Cette information est précieuse pour résoudre des inéquations ou pour analyser des fonctions en termes de leur positivité et négativité, ayant un impact direct sur la représentation graphique des fonctions. Pour approfondir votre compréhension du signe d'un polynôme, explorez notre page "Exercices sur le signe d'un polynôme du second degré".

Enfin, les racines jouent un rôle crucial dans la détermination de la forme canonique du polynôme, une représentation qui fournit des insights immédiats sur le sommet de la parabole représentant le polynôme et facilite l'étude de ses propriétés telles que la concavité et l'axe de symétrie. Pour maîtriser la forme canonique, visitez "Exercices sur la forme canonique d'un polynôme du second degré".

En résumé, comprendre et calculer les racines d'un polynôme du second degré enrichit votre arsenal mathématique, vous équipant mieux pour aborder des problèmes complexes, que ce soit dans vos études ou dans votre future carrière scientifique ou technique.