Exercices corrigés : Réciproque du théorème de PYTHAGORE

Fiche d'exercices N°1 - correction fiche d'exercices N°1. Fiche d'exercices N°2 - correction fiche d'exercices N°2. Fiche d'exercices N°3 - correction fiche d'exercices N°3. Fiche d'exercices N°4 - correction fiche d'exercices N°4. Fiche d'exercices N°5 - correction fiche d'exercices N°5. Fiche d'exercices N°6 - correction fiche d'exercices N°6. Fiche d'exercices N°7 - correction fiche d'exercices N°7. Fiche d'exercices N°8 - correction fiche d'exercices N°8. Fiche d'exercices N°9 - correction fiche d'exercices N°9. Fiche d'exercices N°10 - correction fiche d'exercices N°10.

Résumé de cours : Réciproque du théorème de PYTHAGORE

Historique

Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes les plus célèbres en mathématiques, attribué au mathématicien grec Pythagore. Sa réciproque, bien que moins couramment discutée, est tout aussi importante et a été reconnue peu de temps après la popularisation du théorème original.

Énoncé de la Réciproque

Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Mathématiquement, cela peut être exprimé comme : Si \(c^2 = a^2 + b^2\), alors le triangle est rectangle en \(A\) ou \(B\).

Démonstration

La démonstration de la réciproque du théorème de Pythagore repose sur le théorème original lui-même. Si les conditions de la réciproque sont satisfaites, alors en utilisant le théorème de Pythagore, on peut conclure que le triangle est rectangle.

Applications

La réciproque du théorème de Pythagore est souvent utilisée pour vérifier si un triangle est rectangle en se basant uniquement sur la longueur de ses côtés. C'est particulièrement utile dans des situations où il est difficile de mesurer les angles directement.

Exercice 1

Dans un triangle ABC, AB = 5 cm, BC = 12 cm et AC = 13 cm. Le triangle ABC est-il rectangle ?

Corrigé

Pour vérifier si le triangle est rectangle, nous utilisons la réciprocité du théorème de Pythagore :

\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \)

\( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)

Comme \( AC^2 = 13^2 = 169 \), le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 2

Un triangle DEF a pour côtés DE = 8 cm, EF = 15 cm et DF = 17 cm. Est-ce un triangle rectangle ?

Corrigé

En utilisant la réciprocité du théorème de Pythagore :

\( DE^2 + EF^2 = DF^2 \)

\( 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \)

Comme \( DF^2 = 17^2 = 289 \), le triangle DEF est rectangle en E.

Exercice 3

Dans un triangle GHI, GH = 6 cm, HI = 8 cm. Si le triangle est rectangle en H, quelle est la longueur de GI ?

Corrigé

Si le triangle est rectangle en H, alors :

\( GH^2 + HI^2 = GI^2 \)

\( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)

Donc, \( GI = \sqrt{100} = 10 \) cm.

Exercice 4

Un triangle JKL a pour côtés JK = 9 cm, KL = 12 cm et JL = 16 cm. Est-ce un triangle rectangle ?

Corrigé

En utilisant la réciprocité du théorème de Pythagore :

\( JK^2 + KL^2 \neq JL^2 \)

Car \( 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \) et \( JL^2 = 16^2 = 256 \).

Le triangle JKL n'est donc pas rectangle.

Exercice 5

Dans un triangle MNO, MN = 7 cm, NO = 24 cm et MO = 25 cm. Le triangle MNO est-il rectangle ?

Corrigé

En utilisant la réciprocité du théorème de Pythagore :

\( MN^2 + NO^2 = MO^2 \)

\( 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 \)

Comme \( MO^2 = 25^2 = 625 \), le triangle MNO est rectangle en M.

FAQ

La réciproque du théorème de Pythagore est-elle toujours vraie ?

Oui, si les conditions de la réciproque sont satisfaites, alors le triangle est nécessairement rectangle.

Comment différencier le théorème de Pythagore de sa réciproque ?

Le théorème de Pythagore donne une condition sur les côtés d'un triangle rectangle, tandis que sa réciproque permet de déterminer si un triangle est rectangle en se basant sur la longueur de ses côtés.

Est-ce que tous les triangles qui satisfont la réciproque du théorème de Pythagore sont rectangles ?

Oui, si un triangle satisfait la condition de la réciproque, alors il est nécessairement rectangle.

Conseils et Erreurs à éviter

• Conseil : Lorsque vous vérifiez si un triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore, assurez-vous toujours de comparer le carré de la plus grande longueur avec la somme des carrés des deux autres longueurs.
• Erreur courante : Ne pas utiliser le plus grand côté comme hypoténuse potentielle lors de l'application de la réciproque.

Conclusion

La réciproque du théorème de Pythagore est un outil précieux pour déterminer si un triangle est rectangle en se basant uniquement sur la longueur de ses côtés. En comprenant et en maîtrisant cette réciproque, vous serez mieux équipé pour analyser et résoudre des problèmes géométriques.