Exercices corrigés : Factorisation d'un polynôme de degré 3

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Résumé de cours : Factorisation d'un polynôme de degré 3

1. Introduction

Un polynôme de degré 3 est une expression algébrique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) où \( a \), \( b \), \( c \), et \( d \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \). La factorisation de ces polynômes est un peu plus complexe que celle des polynômes de degré 2.

2. Méthode de factorisation

La factorisation d'un polynôme de degré 3 s'appuie sur la recherche de ses racines. Si le polynôme admet une racine réelle \( r \), alors il peut être factorisé comme le produit d'un binôme de premier degré et d'un trinôme de second degré.

3. Exemples

Exemple : Factoriser \( x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \).

Solution :

Les racines du polynôme sont \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \) et \( x_3 = 3 \). Ainsi, la factorisation est :

\[ x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \]

4. Exercices

1. Factoriser \( x^3 - 3x^2 + 2x \).

2. Factoriser \( x^3 + 3x^2 - 4x \).

3. Factoriser \( x^3 - x^2 - 4x + 4 \).

4. Factoriser \( x^3 - 2x^2 - 5x + 6 \).

5. Factoriser \( x^3 + x^2 - 6x \).

5. Solutions

1. \( x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2) \)

2. \( x^3 + 3x^2 - 4x = x(x + 1)(x + 4) \)

3. \( x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x - 1)^2(x + 2) \)

4. \( x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x + 3) \)

5. \( x^3 + x^2 - 6x = x(x + 2)(x - 3) \)

6. Conseils et erreurs à éviter

• Assurez-vous toujours que le coefficient de \( x^3 \) est différent de zéro.
• Utilisez des méthodes comme la règle de Ruffini ou la division synthétique pour trouver les racines du polynôme.
• Ne confondez pas la factorisation avec l'expansion.

7. FAQ

1. Qu'est-ce qu'un polynôme de degré 3 ?

   C'est une expression algébrique de la forme \( ax^3 + bx^2 + cx + d \) où \( a \), \( b \), \( c \), et \( d \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \).

2. Comment trouver les racines d'un polynôme de degré 3 ?

   On peut utiliser des méthodes comme la règle de Ruffini ou la division synthétique.

3. Est-ce que tous les polynômes de degré 3 peuvent être factorisés ?

   Oui, tous les polynômes de degré 3 peuvent être factorisés, mais pas nécessairement dans l'ensemble des nombres réels.

La règle de Ruffini

La règle de Ruffini est une méthode rapide pour diviser un polynôme par un binôme de la forme \(x - a\). Elle est particulièrement utile pour les polynômes de degré élevé.

étapes de la règle de Ruffini :

1. écrivez les coefficients du polynôme que vous souhaitez diviser en ligne.
2. écrivez le nombre \(a\) (du binôme \(x - a\)) sous la ligne des coefficients.
3. Descendez le premier coefficient tel quel.
4. Multipliez \(a\) par le coefficient que vous venez de descendre et écrivez le résultat sous le coefficient suivant. Additionnez ces deux nombres.
5. Répétez cette opération jusqu'à ce que vous ayez traité tous les coefficients.
6. Le dernier nombre obtenu est le reste de la division, et les autres nombres forment les coefficients du quotient.

Division synthétique

La division synthétique est une méthode abrégée pour diviser un polynôme par un binôme de la forme \(x - a\). Elle est similaire à la règle de Ruffini mais est présentée sous forme de tableau.

étapes de la division synthétique :

1. écrivez le nombre \(a\) (du binôme \(x - a\)) dans le coin supérieur gauche d'un tableau.
2. à droite de \(a\), écrivez les coefficients du polynôme que vous souhaitez diviser.
3. Descendez le premier coefficient tel quel.
4. Multipliez \(a\) par le coefficient que vous venez de descendre et écrivez le résultat sous le coefficient suivant dans la ligne du bas. Additionnez ces deux nombres.
5. Répétez cette opération jusqu'à ce que vous ayez traité tous les coefficients.
6. Le dernier nombre obtenu est le reste de la division, et les autres nombres forment les coefficients du quotient.