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CLASSE DE 3ème

Exercices corrigés : PGCD

exercice 3eme Fiche d'exercices N°1 - correction fiche d'exercices N°1.


Fiche d'exercices N°2 - correction fiche d'exercices N°2.


Fiche d'exercices N°3 - correction fiche d'exercices N°3.


Fiche d'exercices N°4 - correction fiche d'exercices N°4.


Fiche d'exercices N°5 - correction fiche d'exercices N°5.


Fiche d'exercices N°6 - correction fiche d'exercices N°6.


Fiche d'exercices N°7 - correction fiche d'exercices N°7.


Fiche d'exercices N°8 - correction fiche d'exercices N°8.


Fiche d'exercices N°9 - correction fiche d'exercices N°9.


Fiche d'exercices N°10 - correction fiche d'exercices N°10.

Résumé de cours : PGCD

Définition du PGCD

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres est le plus grand nombre qui divise ces deux nombres sans laisser de reste. Il représente l'entier le plus grand qui permet de diviser à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction, la rendant ainsi irréductible.

Nombres premiers et leur importance

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Les nombres premiers tels que 2, 3, 5, 7, 11, 13... jouent un rôle crucial en arithmétique.

La décomposition d'un nombre en facteurs premiers est unique, ce qui en fait un outil essentiel pour trouver le PGCD.

Méthodes de calcul du PGCD

Méthode des divisions successives (ou Euclidienne)

Elle est l'une des plus anciennes et des plus utilisées. Elle consiste à diviser le plus grand des deux nombres par le plus petit. Si la division est exacte, le PGCD est le plus petit des nombres. Sinon, on remplace le plus grand nombre par le reste de la division précédente et on réitère le processus jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.

Méthode de Soustraction

Elle consiste à soustraire le plus petit nombre du plus grand, à répéter l'opération en remplaçant le plus grand nombre par le résultat jusqu'à ce que les deux nombres soient égaux. Ce nombre égal sera le PGCD.

Méthode des facteurs premiers

On décompose chacun des deux nombres en produit de ses facteurs premiers. Le PGCD est alors le produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, chacun élevé à la plus petite des deux puissances observées.

Exemples de méthodes de calcul du PGCD

Méthode des Divisions Successives (ou Euclidienne)

Exemple : Trouvons le PGCD de 48 et 18 à l'aide de la méthode des divisions successives.

  1. Divisez 48 par 18. Le quotient est 2 et le reste est 12.
  2. Prenez le diviseur (18) comme nouveau dividende et le reste (12) comme nouveau diviseur.
  3. Divisez 18 par 12. Le quotient est 1 et le reste est 6.
  4. Continuez le processus : divisez 12 par 6. Le quotient est 2 et le reste est 0. Lorsque le reste est nul, le dernier diviseur (ici 6) est le PGCD.
  5. Le PGCD de 48 et 18 est donc 6.

Méthode de Soustraction

Exemple : Trouvons le PGCD de 48 et 18 à l'aide de la méthode de soustraction.

  1. Soustrayons le plus petit nombre du plus grand : \(48 - 18 = 30\).
  2. Remplaçons maintenant le plus grand nombre, 48, par 30, et gardons le plus petit nombre, 18.
  3. Répétez la soustraction : \(30 - 18 = 12\).
  4. Continuez jusqu'à ce que les deux nombres soient égaux : \(18 - 12 = 6\), puis \(12 - 6 = 6\).
  5. Le PGCD est donc 6.

Méthode des Facteurs Premiers

Exemple : Trouvons le PGCD de 48 et 60 en utilisant la décomposition en facteurs premiers.

  1. Décomposons 48 : \(48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3\).
  2. Décomposons 60 : \(60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5\).
  3. Prenez les facteurs communs avec les plus petits exposants : \(2^2 \times 3\).
  4. Multipliez ces facteurs : \(2^2 \times 3 = 12\).
  5. Le PGCD est donc 12.

Simplification de fractions

Simplifier une fraction revient à la rendre irréductible. Pour ce faire, on cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur et on divise ces deux nombres par ce PGCD.

Exemple: Pour simplifier la fraction 18/24, le PGCD de 18 et 24 est 6. En divisant le numérateur et le dénominateur par 6, on obtient la fraction simplifiée 3/4.

Importance de la simplification

Simplifier des fractions permet d'exprimer des quantités de la manière la plus concise et compréhensible. Cela facilite également les opérations ultérieures sur ces fractions, comme l'addition ou la multiplication.