Exercices corrigés : signe d'un polynôme

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Résumé de cours : signe d'un polynôme

La détermination du signe d'un polynôme de degré 2 est une compétence essentielle en mathématiques. Elle permet de comprendre où le polynôme est positif ou négatif sur son intervalle de définition.

Forme générale d'un polynôme de degré 2

Un polynôme de degré 2 est généralement écrit sous la forme :

où \( a \), \( b \), et \( c \) sont des constantes et \( a \neq 0 \).

Utilisation du discriminant

Le discriminant, noté \( \Delta \), joue un rôle crucial dans la détermination du signe du polynôme. Il est donné par :

Interprétation du discriminant pour le signe

• Si \( \Delta > 0 \) : Le signe de \( f(x) \) change aux racines du polynôme.
• Si \( \Delta = 0 \) : \( f(x) \) garde le même signe partout sauf à la racine double où il s'annule.
• Si \( \Delta < 0 \) : \( f(x) \) garde le même signe sur tout son intervalle de définition.

Exemples détaillés

Exemple 1 :

Soit le polynôme \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \). Déterminons son signe :

Solution :

Le discriminant est \( \Delta = 1 \). Les racines sont \( x_1 = 1 \) et \( x_2 = 2 \).

Exemple 2 :

Soit le polynôme \( g(x) = x^2 + 2x + 1 \). Déterminons son signe :

Solution :

Le discriminant est \( \Delta = 0 \). La racine double est \( x_0 = -1 \).

Conseils et erreurs à éviter

Assurez-vous toujours de bien identifier les coefficients \( a \), \( b \), et \( c \) avant de commencer les calculs. Une erreur dans ces valeurs peut fausser tout le calcul des racines et du signe.

FAQ

• Qu'est-ce que le tableau de signes ?

  C'est un outil graphique qui permet de visualiser le signe d'un polynôme sur son intervalle de définition.

• Comment déterminer le signe d'un polynôme ?

  On utilise le discriminant, les racines du polynôme et le tableau de signes.

• Que signifie un discriminant négatif pour le signe ?

  Cela signifie que le polynôme garde le même signe sur tout son intervalle de définition.