Exercices corrigés : Forme canonique d'un polynôme

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Résumé de cours : Forme canonique d'un polynôme

La forme canonique d'un polynôme de degré 2 est une représentation alternative de ce polynôme, qui facilite l'identification de ses propriétés, telles que son sommet ou ses racines.

Forme générale vs Forme canonique

Un polynôme de degré 2 est généralement écrit sous la forme :

La forme canonique de ce polynôme est :

où \( \alpha = -\frac{b}{2a} \) et \( \beta = c - \frac{b^2}{4a} \).

Passage à la forme canonique

Pour exprimer un polynôme de degré 2 sous sa forme canonique, on utilise les valeurs de \( \alpha \) et \( \beta \) définies ci-dessus.

Exemple :

Soit le polynôme \( f(x) = 2x^2 - 4x + 3 \).

Pour le mettre sous forme canonique :

1. Calculer \( \alpha = -\frac{b}{2a} \).
2. Calculer \( \beta = c - \frac{b^2}{4a} \).
3. écrire le polynôme sous la forme \( a(x - \alpha)^2 + \beta \).

Utilité de la forme canonique

La forme canonique est particulièrement utile pour :

• Identifier le sommet du paraboloïde représenté par le polynôme.
• Déterminer le sens de l'ouverture de la parabole (vers le haut si \( a > 0 \), vers le bas si \( a < 0 \)).
• Faciliter la résolution de l'équation \( f(x) = 0 \).

Exercices et Solutions

1. Mettre le polynôme \( g(x) = x^2 + 6x + 8 \) sous forme canonique.

Solution : \( \alpha = -\frac{6}{2} = -3 \) et \( \beta = 8 - \frac{36}{4} = 8 - 9 = -1 \). Donc, \( g(x) = (x + 3)^2 - 1 \).

2. à partir de la forme canonique, déterminer le sommet de la parabole associée au polynôme \( h(x) = -3x^2 + 12x - 7 \).

Solution : \( \alpha = \frac{12}{2(-3)} = 2 \) et \( \beta = -7 - \frac{144}{4(-3)} = -7 + 12 = 5 \). Donc, le sommet est (2, 5).

Conseils et erreurs à éviter

Assurez-vous toujours de bien identifier les coefficients \( a \), \( b \), et \( c \) avant de commencer les calculs. Une erreur dans ces valeurs peut fausser toute la mise en forme canonique.

FAQ

• Qu'est-ce que la forme canonique ?

  C'est une représentation alternative d'un polynôme de degré 2 qui facilite l'identification de ses propriétés.

• Comment trouver la forme canonique d'un polynôme ?

  On utilise les formules pour \( \alpha \) et \( \beta \) à partir des coefficients du polynôme.

• à quoi sert la forme canonique ?

  Elle permet d'identifier le sommet, le sens de l'ouverture de la parabole, et facilite la résolution de l'équation associée.